奥数一笔画:奇点有没有可能是奇数个?要原因,有图或证明方法最好.
题目
奥数一笔画:奇点有没有可能是奇数个?要原因,有图或证明方法最好.
答案
奇点不可能是奇数个的.原因如下:
假设某个图形可以用N笔画出,则N必然是自然数(即要么1笔画出来,要么2笔画出来,而不可能是1笔半).而任何1笔,必然有且只有1个起点和1个终点(如果起点和终点在同一点,也是有1个起点和1个终点的,只不过重合了而已,注意!).
所以,N笔的所有起点数和终点数之和,必然是2N.
而图形的奇点,则是由笔划的起点和终点组成的.
由于偶点发出的线条为偶数,所以:要么偶点既不是笔划的起点又不是终点,要么就是包含着偶数个起点(或终点),即偶点中起点数+终点数必然是偶数,设这个偶数为2X.
从以上分析可以知道,奇点的数目,就是2N减去偶点中起点和终点数,而偶点中起点数+终点数为偶数2X,所以奇点数=2N-2X=2(N-X),即奇点数必然为偶数.
举一反三
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