已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围; (3)当a=−5/

已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围; (3)当a=−5/

题目
已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(3)当a=−
5
2
时,求函数f(x)的极小值.
答案
f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],
(1)当a=0时,f(x)=(x2+2)ex,f'(x)=ex(x2+2x+2),
f(1)=3e,f'(1)=5e,
∴函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0
(2)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],,
考虑到ex>0恒成立且x2系数为正,
∴f(x)在R上单调等价x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立.
∴(a+2)2-4(a+2)≤0,
∴-2≤a≤2,即a的取值范围是[-2,2],
(3)当a=-
5
2
时,f(x)=(x2-
5
2
x+2)ex,f'(x)=ex(x2-
1
2
x-
1
2
),
令f'(x)=0,得x=-
1
2
,或x=1,
令f'(x)>0,得x<-
1
2
,或x>1,
令f'(x)<0,得-
1
2
<x<1
x,f'(x),f(x)的变化情况如下表
X (-∞,-
1
2
-
1
2
(-
1
2
,1)
1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以函数f(x)的极小值为f(1)=
1
2
e
(1)先求出函数f(x)的导函数,求出切点坐标,根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式即可;
(2)若f(x)在R上单调,则f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2]>0恒成立,考虑到ex>0恒成立且x2系数为正,从而等价x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,利用判别式建立关系式,即可求出所求;
(3)先求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值即可.

利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究函数的极值.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题,同时考查了计算能力、转化与划归的思想,属于综合题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.