如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证: (1)AP⊥MN; (2)平面MNP∥平面A1BD.
题目
如图,在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,M、N、P分别是C
1C、B
1C
1、C
1D
1的中点,求证:
(1)AP⊥MN;
(2)平面MNP∥平面A
1BD.
答案
证明:(1)连接BC1、B1C,则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.
又B1C∥MN,∴AP⊥MN.
(2)连接B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,
∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD,
∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上,
∴PN∥平面A1BD.
同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,
∴平面PMN∥平面A1BD.
举一反三
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