一个半径为R的车轮以固定角速度w向前滚动t秒,求轮上一点经过轨迹的长度

题目

一个半径为R的车轮以固定角速度w向前滚动t秒,求轮上一点经过轨迹的长度
我知道轮上一点的轨迹是旋轮线，怎么求它的长度？

答案

积分；
摆线参数方程为：x=R(ωt-sinωt),y=R(1-cosωt)；
dl=√[(dx)²+(dy)²]=(Rωdt)*√[(1-cosωt)²+sin²ωt]=Rωdt*√(2-2cosωt)=2Rω√sin²(ωt/2) dt；
在一个周期内可以认为 t≤2π/ω,于是 dl=2Rωsin(ωt/2) dt,
l=∫dl=∫2Rωsin(ωt/2) dt=-4Rcos(ωt/2)+C；
若 t=t0→te,则 l=4R[cos(ωt0/2)-cos(ωte/2)]；（如 t 变动为一个整周期,则 l=8R）；
如运动时间超过一个周期,则切分为若干个整周期和一个非整周期分别计算各段摆线长度后再相加即可；