一个解析几何问题

题目

一个解析几何问题
如果曲线C上所有的点的坐标都是方程F（x,y）=0的解,那么以下说法是否正确?
以方程F（x,y）=0的解为坐标的点有些不在曲线上

答案

（用数形结合的方法）
(1).∵ 直线l:x+√3y-√3=0 与坐标轴的交点为A'(√3,0),B'(0,1).
∴│A'B'│=2,且 △A'B'O是直角三角形.
又∵ │AB│=2,且△ABO是直角三角形.
∴ │AB│与│A'B'│重合,即│OA│为椭圆的长半轴长,│OB│为椭圆的短半轴长.
∴椭圆的方程为：x2/3+y2=1.
(2).∵ │OM│⊥│ON│,
∴ │MN│2=│OM│2+│ON│2≥2│OM││ON│,且│OM│=│ON│时取“=”.
∴ 当│MN│取最小值时,│OM│=│ON│且│OM│⊥│ON│,
∴ 相当于在椭圆内有一个内切圆（或内接正方形）,而且△OMN是等腰直角三角形.∴ 设M(a,a).
∴ a2/3+a2=1.∴a2=3/4.
∴│MN│=│2a│=√3.
(本题也可以设直线MN的方程为：y=kx+b ,再代人椭圆方程求之-----比较复杂.)