在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若点M∈C1,点N∈C2,求|MN|的取值范围; (2)若直线l过点A(4,0),
题目
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C
1:(x+3)
2+(y-1)
2=4和圆C
2:(x-4)
2+(y-5)
2=4.
(1)若点M∈C
1,点N∈C
2,求|MN|的取值范围;
(2)若直线l过点A(4,0),且被圆C
1截得的弦长为2
,求直线l的方程.
答案
(1)∵圆C
1:(x+3)
2+(y-1)
2=4的圆心坐标为(-3,1),半径为2,圆C
2:(x-4)
2+(y-5)
2=4的圆心坐标为(4,5),半径为2,
∴|C
1C
2|=
,
∴
-4≤|MN|≤
+4;
(2)由于直线x=4与圆C
1没有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
∴圆心C
1到直线的距离为d=
.
∵直线被圆C
1截得的弦长为2
,
∴d=1,即
=1.
整理得48k
2+14k=0,解得k=0,或k=-
.
所求直线方程为y=0,或7x+24y-28=0.
(1)求出圆心坐标,可得圆心距,即可|MN|的取值范围;
(2)直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=k(x-4),利用直线被圆C
1截得的弦长为2
,结合圆心C
1到直线的距离,即可求直线l的方程.
两圆的公切线条数及方程的确定;圆与圆的位置关系及其判定.
本题考查圆与圆的位置关系,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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