已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an－2(n=1,2,3...),数列{bn}中,b1=1,点(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上

题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an－2(n=1,2,3...),数列{bn}中,b1=1,点(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上
(1)求数列{an} {bn}的通项an和bn
(2)记Sn=a1b1+a2b2+.+anbn,求Sn.

答案

（1）由Sn = 2an—2 可得,当n=1时,S1 = a1 = 2 a1—2
　　解得a1 = 2 又Sn-1 = 2an-1—2
　　则Sn — Sn-1 = an = 2an—2—（2an-1—2）=2an—2an-1
　　整理可得,an = 2 an-1 ,为等比数列,公比为q = 2
　　故an = a1•qn-1 = 2•2n-1 = 2n ,n∈N+
　　因为点（bn ,bn+1）在直线 x—y+2=0上,
　　则有bn—bn+1+2=0 ,即bn+1—bn=2
　　此数列为等差数列,公差为d = 2 ,又b1 = 1
　　故bn=b1+(n—1) d = 1+(n—1)•2 = 2 n—1
　　当n=1时,b1 = 1 则bn = 2 n—1 ,n∈N+
　　(2) 由（1）可知an•bn = 2n•(2 n—1)= 2n+1•n—2n
　　所以：
　　Sn = 22•1—2+23•2—22 +24•3—23+…+2n•(n—1) —2n-1+2n+1•n—2n
　　=23•1+24•2+…+2n•(n—2) +2n+1•n—2 ①
　　2Sn=24•1+25•2+…+2n+1•(n—2) +2n+2•n—4 ②
　　①式—②式,得
　　—Sn = 23+24+25+…+2n +2n+1•2—2n+2•n+2
　　=2+(23—23•2n-2)／(1—2) +2n+2•(1—n)
　　=—6—2n+1•(2 n—3)
　　综上,Sn =6+2n+1•(2 n—3) 解毕.
　　(在文档上解完粘贴上来效果不一样,楼主如若看不清楚,可留下邮箱,我可以将文档发给你)