一道概率的问题,与分布函数有关

题目

一道概率的问题,与分布函数有关
求证:如果F(x)是分布函数,则对任何h≠0,函数
G(x)=1/h∫F(t)dt (积分的上下限是x到x+h)和
H(x)=1/2h∫F(t)dt (积分的上下限是x-h到x+h)也是分布函数

答案

很明显函数是大于零的,只需证明
∫G(x) dx=1,
这是因为
∫1/h∫F(t)dt dx = ∫1/h∫F(t)dx dt = ∫F(t)dt=1.
在第二式中你将 x同样可以证明H(x)也是分布函数.用到的也是这样交换积分次序.