已知F1,F2是椭圆X的平方/100+Y的平方/64=1的两个焦点,P是椭圆上一点.求PF1*PF2的最大值.

题目

已知F1,F2是椭圆X的平方/100+Y的平方/64=1的两个焦点,P是椭圆上一点.求PF1*PF2的最大值.
嗯,就如题.

答案

已知F₁,F₂是椭圆X²/100+Y²/64=1的两个焦点,P是椭圆上一点.求PF₁•PF₂的最大值.
a=10,b=8,c=6；F₁(-6,0),F₂(6,0).
把椭圆方程改写成参数方程：x=10cost,y=8sint,t∈R.那么椭圆上点P的坐标为(10cost,8sint).
于是PF₁=(-6-10cost,8sint)；PF₂=(6-10cost,8sint)；
故PF₁•PF₂=(-6-10cost)(6-10cost)+64sin²t=-(36-100cos²t)+64sin²t
=100cos²t+64sin²t-36=100cos²t+64(1-cos²t)-36=36cos²t+28≦36+28=64
即PF₁•PF₂的最大值=64.当t=0或π时获得此值.获得最大值时P的坐标为(10,0)或(-10,0).