求二重积分∫∫（1+x）sinydσ,其中D是顶点分别为（0,0）,（1,0）,（1,2）和（0,1）的梯形闭区域

题目

求二重积分∫∫（1+x）sinydσ,其中D是顶点分别为（0,0）,（1,0）,（1,2）和（0,1）的梯形闭区域

答案

(0,1) 与点(1.2)形成的直线:k=(2-1)/(1)=x     y=x+1
D  xE(0,1)     yE(0,1+x)
∫∫（1+x）sinydσ
∫(0,1)dx∫(1,1+x) （1+x）sinydy
=∫(0,1)（1+x）*(-cosy)| [0,1+x]dx
=∫(0,1)（1+x）*(-cos(1+x)+1)]dx
=-∫(0,1)（x+1）cos(x+1)dx+∫(0,1)（1+x）)]dx
=-∫(0,1)xcos(x+1)dx-∫(0,1)cos(x+1)dx+∫(0,1)（1+x）)]dx
其中:∫xcos(x+1)dx=xsin(x+1)-∫sin(x+1)d(x+1)=xsin(x+1)+cos(x+1)+C
∫cos(x+1)dx=sin(x+1)+C
∫（1+x）)]dx=1/2(1+x)^2+C
原式=-xsin(x+1)-cos(x+1)-sin(x+1)+1/2(1+x)^2)[0,1]
=-sin2-cos2-sin2+2-0+cos1+sin1-1/2
=-2sin2-cos2+3/2+cos1+sin1