有关f（x）、g（x）反函数

题目

有关f（x）、g（x）反函数
如果f（x）、g（x）都是一对一方程,证明[f（x）的反函数og（x）的反函数]=（fog）的反函数.
如果f（x）、g（x）都是一对一方程，证明[f（x）的反函数。g（x）的反函数]=[（f。g）的反函数]。

答案

显然fog在存在域是一对一方程
对于任意的z属于fog的值域,
存在x使得fog(x)=z ,x=(fog)^(-1)(z).1)
f(g(x))=z 两边用f逆作用
f^(-1)(f(g(x)))=g(x)=f^(-1)(z)
g(x)=f^(-1)(z) 两边用g逆作用
g^(-1)(g(x))=g^(-1)(f^(-1)(z))
即x=g^(-1)(f^(-1)(z))=（g^(-1)o f^(-1)）(z).2)
比较一二由z的任意性可知
(fog)^(-1)=g^(-1)o f^(-1）