函数既是凸函数 又是凹函数 证明该函数是线性函数

题目

函数既是凸函数 又是凹函数 证明该函数是线性函数
别告诉我直接f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y) 所以f就是线性 这里的t必须是0到1 但线性函数的定义里t可以取任意值

答案

分析,
要加上条件：函数在定义域内连续.
f(x)是凸函数,又是凹函数,证明：f(x)一定是线性函数.
证明：
函数f(x)在定义域内连续,
在定义域内,任意设两点x1,x2,(x1≠x2)
根据凸函数的性质,
f(x1)+f(x2)≧f(x1+x2)/2
再根据凹函数的性质,
f(x1)+f(x2)≦f(x1+x2)/2
因此,f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)/2,
满足这样条件的f(x)一定可以写成,f(x)=ax+b.
故,f(x)是线性函数.