已知3阶矩阵A有3维向量A满足A^3X=3AX-A^2X,且向量组X,AX,A^2X线性无关.（1）记P=(X,AX,A^2X),求三阶矩阵B使AP=PB.(2)求|A|

题目

答案

(1) AP = A(X,AX,A^2X)
= (AX,A^2X,A^3X)
= (AX,A^2X,3AX-A^2X)
= (X,AX,A^2X)B ＝ PB.
其中 B ＝
0 0 0
1 0 3
0 1 -1
(2) 易知 |B| = 0.
由向量组X,AX,A^2X线性无关, 所以P可逆
所以 A = PBP^-1
所以 |A| = |P||B||P^-1| = 0.

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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