AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN的两端在圆周上滑动

题目

AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN的两端在圆周上滑动
AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN长为8,MN的两端在圆周上滑动,始终与AB相交,计点A,B到MN距离为h1,h2,求/h1-h2/(/ /表示绝对值）

答案

首先给出一种特殊情况,当MN,AB相互垂直时,设它们交于P点,则AP为A到MN的距离,BP为B到MN的距离,显然MP=NP=4,故OP=3,PB=2,所以|h1-h2|=(3+5)-2=6
另一种特殊情况,MN中的一个点与A或B重合,不妨设N与B重合,则因为AB 为直径,所以AM为A到MN的距离,AM=sqrt（10×10-8×8）=6,B到MN的距离为0,所以答案为6
对一般情况,设AB交MN于P,过圆心O作MN的垂线交于C,过B作垂线交于E,过A作垂线交于D,设AP=x,则OP=5-x,OB=10-x,易知OC=3,有三角形APD与OPC相似,AP/OP=AD/OC,所以AD=3x/（5-x）,由三角形POC与PBE相似,OC/BE=OP/BP,所以BE=3×（10-x）/（5-x）,所以BE-AD=【3（10-x）-3x】/(5-x)=6