在△ABC中，∠B=90°，AB=7，AC=25，BC=24，△ABC内是否存在一点P到各边距离相等？如果有，请写出点P并求出这个距离．

题目

在△ABC中，∠B=90°，AB=7，AC=25，BC=24，△ABC内是否存在一点P到各边距离相等？如果有，请写出点P并求出这个距离．

答案

过点C作∠ACB的角平分线，再过点B作∠ABC的角平分线，过点A作∠CAB的角平分线，
三条角平分线交于一点，就是点P；
过点P分别向△ABC的三边做垂线段PE、PF、PD，连接AP，
∵CP平分∠ACB，PD⊥AC，PF⊥BC，
∴PD=PF，
又∵CP=CP，
∴Rt△CDP≌Rt△CFP，
∴CD=CF，
同理有AD=AE，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PFB=∠PEB=∠ABC=90°，
∴四边形PEBF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四边形PEBF是正方形，
设PE=x，
∵AE=AD=7-x，
∴CF=CD=25-（7-x）=18+x，
又∵CF=24-x，
∴18+x=24-x，
解得x=3，
故距离是3．