3重积分问题

题目

3重积分问题
椭圆体 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 z大于0的部分
∫∫∫zdV 等于多少 我看答案直接这样写 直接投影到xy面 D(z)
∫(0,c)dz∫∫(D(z))zdxdy=∫(0,c)zπab(1-z^2/c^2)dz 这一步是怎么来的

答案

左边不应该有D（z）,左边应该就是∫(0,c)dz∫∫zdxdy,对于dxdy来说,z是定值,所以∫∫zdxdy=z∫∫dxdy,而∫∫dxdy表示用平面z=z0去截椭球体所得的椭圆面积,算出来就是πab(1-z^2/c^2),再乘上之前的z就是zπab(1-z^2/c^2).所以就有了上式.