过直线y=2x-4与抛物线y^2=8x的两个交点做抛物线的切线,求切线交点.用直线系方法怎么做

题目

过直线y=2x-4与抛物线y^2=8x的两个交点做抛物线的切线,求切线交点.用直线系方法怎么做

答案

抛物线和直线的交点是方程组y=2x-4,y^2=8x的解(3+sqrt(5),2+2sqrt(5)),(3-sqrt(5),2-2sqrt(5)).过这两点的切线的斜率分别是抛物线在这两点的导数值4/(2+2sqrt(5),4/(2-2sqrt(5).（注,抛物线y^2=8x的导数是y'=4/y）.设这两两条切线的交点是(x,y),那么过点(x,y)和点(3+sqrt(5),2+2sqrt(5))的直线的切线斜率=4/(2+2sqrt(5),同理过点(x,y)和点(3+sqrt(5),2-2sqrt(5))的直线的切线斜率=4/(2-2sqrt(5).即(2+2sqrt(5)-x)/(3+sqrt(5)-x)=4/(2+2sqrt(5)),(2-2sqrt(5)-x)/(3-sqrt(5)-x)=4/(2-2sqrt(5).解得x=-2,y=2.所以切线交点是（-2,2）.