如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点． 求证：（1）A1B∥平面AC1D； （2）平面A1BD1∥平面AC1D．

题目

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点．
求证：（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

答案

（1）证明：如图，连结A₁C交AC₁于点E，连结DE，
∵四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴E是A₁C的中点．连结ED，
∵A₁B∥平面AC₁D，平面A₁BC∩平面AC₁D=ED，
∴A₁B∥ED．
∵A₁B不包含于平面AC₁D，ED⊂平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）证明：∵E是A₁C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D₁是B₁C₁的中点，∴BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，
∴BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．
又A₁D₁∩BD₁=D₁，∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．