高中的一道椭圆题

题目

高中的一道椭圆题
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有2点P和Q
P,Q在x轴上的射影分别是椭圆的左右焦点F1,F2
且P,Q连线斜率是2^0.5/2(2分之根号2)
求椭圆的离心率
需解题过程(普通代数解法)

答案

F1(-c,0),F2(c,0)
k>0
显然P在x轴下方
x=-c
y²/b²=1-c²/a²=(a²-c²)/a²=b²/a²
y<0
所以y=-b²/a
Q在x轴上方
所以y=b²/a
所以P(-c,-b²/a),Q(c,b²/a)
所以k=(2b²/a)/(2c)=√2/2
b²/ac=√2/2
a²-c²=√2/2*ac
c²+√2/2*ac-a²=0
c=a[-√2/2±√(9/2)]/2
c>0
所以c=a*√2/2
e=c/a=√2/2