已知正项数列{an}满足sn=1/2(an+1/an)（1）求a1,a2,a3并推测an（2）用数学归纳法证明你的结论

题目

已知正项数列{an}满足sn=1/2(an+1/an)（1）求a1,a2,a3并推测an（2）用数学归纳法证明你的结论

答案

有A1=S1可得A1=1/2(A1+1/A1) 又因为A1>0 求出A1=1 当然S1=1
因为An=Sn-S
所以Sn=1/2(An+1/An)
Sn=1/2×[Sn-S+1/(Sn-S)]
==>Sn=1/2×[(Sn-S)²+1]/(Sn-S)
==>2Sn(Sn-S)=(Sn-S)²+1
==>2S²n-2Sn*S=S²n-2Sn*S+S²+1
==>2S²n=S²n+S²+1
==>S²n-S²=1
所列数列{Sn}是一个以S²1=1为首项 1为公差的等差数列
所以S²n=1+(n-1)*1=n ==>Sn=√n
所以An=Sn-S=√n=√(n-1)
An=√n-√(n-1)也满足A1=1
所以An=√n-√(n-1)