高中数学题,今晚要!

题目

高中数学题,今晚要!
设θ∈[0.2π],关于x的方程x2+xcosθ+sinθ=0与x2+xsinθ+cosθ=0至少有一个相同的实根.求θ的值

答案

设方程x²+xcosθ+sinθ=0与x²+xsinθ+cosθ=0相同的实根为a
故：a²+acosθ+sinθ=0,a²+asinθ+cosθ=0
两式相减：a(cosθ-sinθ)+( sinθ- cosθ)=0
故：(a-1)(cosθ-sinθ)=0
故：a-1=0或cosθ-sinθ＝0
（1）当cosθ-sinθ＝0时,即：tanθ=1,因为θ∈[0.2π],故：θ＝π/4或5π/4,此时x²+xcosθ+sinθ=0与x²+xsinθ+cosθ=0完全一样,有无数个相同的实根,符合
（2）当a-1=0时,即a=1时,则1²+cosθ+sinθ=0,故：cosθ+sinθ=-1
故：sin(θ+π/4)=-√2/2
因为θ∈[0.2π],故：θ+π/4=5π/4,或θ+π/4=7π/4
故：θ=π/2或θ=3π/2
故：θ＝π/4或θ＝5π/4或θ=π/2或θ=3π/2