点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

题目

点A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD．

答案

证明：由已知中点O为点A在平面BCD内的射影，
∴AO⊥平面BCD，即AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD
∵AC⊥BD，AC∩AO=A
∴BD⊥平面OAC，BD⊥CO，
同理由AD⊥BC可证BC⊥D0，
即O为△BCD的垂心，
∴CD⊥OB，又由OB∩AO=0
∴CD⊥平面AOB
又由AB⊂平面AOB
∴AB⊥CD