过抛物线y^2=2px焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p^2

题目

过抛物线y^2=2px焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证y1y2=-p^2

答案

当直线斜率存在时,设直线方程为
y=k(x-p/2)
与y^2=2px联立,消去x,得
y^2=2p(y/k+p/2)
即
y^2-2py/k-p^2=0
所以
y1*y2=-p^2,
当直线斜率不存在即与x轴垂直时,|y1|=|y2|=p,且二者异号,
∴y1*y2=-p^2,
综上,y1*y2=-p^2恒成立.