已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),定直线L":x=a^2/c与一条渐近线L交于点P,F是双曲线上的右焦点.

题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),定直线L":x=a^2/c与一条渐近线L交于点P,F是双曲线上的右焦点.
1.求证PF⊥L
2.若|PF|=3,且双曲线的离心率e=5/4,求双曲线方程

答案

取一渐近线:y=bx/a,准线x=a?/c
→交点P(a?/c,ab/c)
k(PF)*k(l)=[(ab/c)/(a?/c-c)]*b/a=-1
→PF⊥L(这种题目按照常规来做,不是问题～)
(2):那么根据(1)得到PF⊥L,根据点F到直线L距离公式即可做出
此外e=c/a=5/4→b/a=3/4
→渐近线y=3x/4(这里针对一条渐近线,因为都一样～)
那么F(5a/4,0)
点到直线距离公式→|3(5a/4)/4|/(√1 (3/4)?)=|PF|=3
→a=4/3,=16/9
→c=5/3,=25/9
→b=1,=1
→x?/(16/9)-y?=1
→9x?/16-y?=1