在△ABC中,A+C=2B,且最大角与最小角的对边长度之比为(3+1):2.求A,B,C的大小.

在△ABC中,A+C=2B,且最大角与最小角的对边长度之比为(3+1):2.求A,B,C的大小.

题目
在△ABC中,A+C=2B,且最大角与最小角的对边长度之比为(
3
+1):2
.求A,B,C的大小.
答案
因为在△ABC中,A+C=2B,所以180°=A+B+C=3B,于是B=60°.…(2分)
若最大角为A,则最小角为C.…(3分)
因为最大角与最小角的对边长度之比为(
3
+1):2

由正弦定理得
3
+1
2
sinA
sinC
sin(120°−C)
sinC
3
2
cosC+
1
2
sinC
sinC
3
2
cotC+
1
2
,…(10分)
所以cotC=1. …(12分)
因为C为三角形的内角,所以C=45°.…(13分)
因而A=75°.…(14分)
若最大角为C,最小角为A,则可得A=45°,从而C=75°.…(15分)
综上得A=75°,B=60°,C=45°或A=45°,B=60°,C=75°.…(16分)
由题意可得B=60°,A+C=120°,若最大角为A,则最小角为C,由条件并利用正弦定理求得cotC=1,C=45°;若最大角为C,最小角为A,同理可求得A,C的值.

正弦定理的应用.

本题主要考查正弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,已知三角函数值求角的大小,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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