(上限x,下限0)x∫f(t)dt + ∫f(t)tdt的导数

题目

(上限x,下限0)x∫f(t)dt + ∫f(t)tdt的导数
为什么是∫f(t)dt + xf(x) + xf(x),怎么导出来的?
尤其是(上限x，下限0)∫f(t)tdt的导数怎么求的

答案

[ x∫[0,x]f(t)dt+∫[0,x]f(t)tdt ]'=∫[0,x]f(t)dt+xf(x)+f(x)x
设F(x)=∫f(x)dx ∫[0,x]f(t)dt=F(x)-F(0) x∫[0,x]f(t)dt=x[F(x)-F(0)]
[x∫[0,x]f(t)dt ]'=[ x[F(x)-F(0)] ]'=[F(x)-F(0)]+ x[F(x)-F(0)]'
=∫[0,x]f(t)dt +xF'(x)
=∫[0,x]f(t)dt +xf(x)
G(x)=∫f(x)xdx ∫[0,x]f(t)tdt=G(x)-G(0) [∫[0,x] f(t)tdt ]'= G'(x)=f(x)x