一个与双曲线有关的题目

题目

一个与双曲线有关的题目
双曲线 x^2/a^2-y^2/b^=1;F为右焦点,P为曲线上一点,且P的X,Y(坐标)都大于0,M`为右准线上一点,M为左准线上一点,O为原点,且OFPM为一个平行四边行;又|PF|=λ|OF|;
1:求离心率e与λ的关系
2:λ=1时过F且平行于OP的直线交曲线于AB,|AB|=12,求直线和C的方程.

答案

1.
设PM交右准线于M';左准线与右准线分别交x轴于C;PM交y轴于E
x²/a²-y²/b²=1
F(c,0)
|OF|=c
|PF|=λ|OF|=λc
左准线x=-a²/c
|OC|=a²/c
|PE|=|PM|-|MM'|=|OF|-2|OC|=c-2a²/c
e=|PF|/|PE|=λc/(c-2a²/c)=λc²/(c²-2a²)=λ(b²+a²)/(b²-a²)
e与λ的关系是e=λ(b²+a²)/(b²-a²)
2.
λ=1
|PF|=|OF|=c
e=(b²+a²)/(b²-a²)
e=c/a=√(b²+a²)/a
有(b²+a²)/(b²-a²)=√(b²+a²)/a
√(b²+a²)/(b²-a²)=1/a
a√(b²+a²)=b²-a²
a²(b²+a²)=(b²-a²)²
得b²=3a²
b=√3a
c=√(a²+b²)=√(a²+3a²)=2a
|PF|=|OF|=c=2a
|OC|=a²/c=a²/2a=a/2
有x²/a²-y²/3a²=1
|PE|=|PM|-|EM|=|OF|-|OC|=2a-a/2=3a/2
|MC|=√(|OM|²-|OC|²)=√(|PF|²-|OC|²)=√(2a)²-(a/2)²)=√15a/2
P(3a/2,√15a/2)
OP的斜率即AB的斜率|MC|/|PE|=(√15a/2)/(3a/2)=√15/3
AB过F(2a,0)
AB:y=√15x/3-2√15a/3
代入x²/a²-y²/3a²=1得
x²/a²-(√15x/3-2√15a/3)²/3a²=1
整理得4x²+20ax-29a²=0
设该一元二次方程的两根为x1,x2
tanPOF=√15/3
sinPOF/cosPOF=√15/3
√(1-cos²POF)/cosPOF=√15/3
√(1-cos²POF)=√15cosPOF/3
1-cos²POF=5cos²POF/3
cos²POF=3/8
cosPOF=√6/4
不妨设A在F的左边
AB‖OP有∠AFO=∠POF有cosAFO=cosPOF=√6/4
|AB|=|x1-x2|/cosAFO=12
|x1-x2|=12cosAFO
|x1-x2|=12•√6/4=3√6
(x1-x2)²=54
(x1+x2)²-4x1x2=54
由韦达定理有x1+x2=-5a,x1x2=-29a²/4
(-5a)²-4•(-29a²/4)=54
54a²=54
得a²=1
a=1
b²=3a²=3
双曲线的方程是x²-y²/3=1
直线的方程是y=√15x/3-2√15/3
这里巧妙的利用韦达定理及余弦值列出关于a的方程,避免了求根公式和两点间距离公式带来的烦琐,及大的减少了计算量.不论AB是否被x轴隔开或分别交于双曲线的左右两支,都可以通过平移AB来放入直角三角形内,对结果没有影响.