知椭圆(x^2/4)+y^2=1和点(0,2).(1)椭圆上求一点P使|PA|的值最大 (2)求椭圆上点到直线2x-3y-6=0的距离最值

题目

知椭圆(x^2/4)+y^2=1和点(0,2).(1)椭圆上求一点P使|PA|的值最大 (2)求椭圆上点到直线2x-3y-6=0的距离最值
(1)P(±2√5/3,-2/3)
(2)最大值11√13/13
最小值√13/13

答案

1.设x=2cosa,y=sina
所以|PA|²=x²+(y-2)²=4cos²a+(sina-2)²=4cos²a+sin²a-4sina+4=-3sin²a-4sina+8
=-3(sina+2/3)²+28/3,所以sina=-2/3时,取最大值28/3,所以|PA|的最大值为2√21/3
此时cosa=±√5/3,所以P（±2√5/3,-2/3）
2.设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为2x-3y+C=0
所以y=2/3x+C/3代入椭圆方程得25x²+16Cx+4C²-36=0
由△=0得 256C²-100(4C²-36)=0 C=±5
所以距离的最值为|C+6|/√(4+9),所以最大值为11/√13,最小值为1/√13
即最大值11√13/13 ,最小值√13/13