已知xy都是正数,求证（x+y)(x的平方+y的平方)(x的3次方+y的3次方）大于等于8x的3次方y的3次方

题目

已知xy都是正数,求证（x+y)(x的平方+y的平方)(x的3次方+y的3次方）大于等于8x的3次方y的3次方

答案

∵(x-y)^2≥0
∴x^2+y^2 ≥ 2xy -----1
1 两边同加2xy
x^2+y^2+2xy ≥ 4xy -----2
即 （x+y)^2≥ 4xy
1 两边同减xy
x^2+y^2-xy ≥ xy -----3
1,2,3左边相乘,得：
(x^2+y^2) *(x+y)^2*(x^2+y^2-xy)≥2xy *4xy*xy
(x^2+y^2) *(x+y)*(x^3+y^3)≥8x^3y^3
原式成立.