已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.
题目
已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.
答案
二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是:
对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,
∴
即
| 4−2(p−2)−2p2−p+1≤0 | 4+2(p−2)−2p2−p+1≤0 |
| |
整理得
解得p≥
,或p≤-3,
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,
使f(c)>0的实数p的取值范围是
(−3,).
由于二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1的图象是开口方向朝上的抛物线,故二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间
[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定为对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,即f(-1),f(1)均小于等0,由此可以构造一个关于p的不等式组,解不等式组即可求出实数p的取值范围.
一元二次方程的根的分布与系数的关系.
本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间
[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0时,是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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