若实对称矩阵A的特征值的绝对值均为1,A为正交矩阵

题目

若实对称矩阵A的特征值的绝对值均为1,A为正交矩阵

答案

证法一:首先存在正交矩阵P使B = P^(-1)AP为对角阵,可知B的对角线上为A的特征值.而实对称阵的特征值是实数,所以B为对角线上元素都为1或-1的对角阵.易见这样的B是正交阵,于是A = PBP^(-1)为正交阵的乘积,仍为正交阵.证...