已知A（1,1）,B（5,3）,C(4,5)是△ABC的三个顶点,直线l//AB且平分△ABC的面积,求直线l的方程

题目

已知A（1,1）,B（5,3）,C(4,5)是△ABC的三个顶点,直线l//AB且平分△ABC的面积,求直线l的方程
有没有除求交点外简便的方法

答案

设平行AB的直线与AC、BC分别交于M、N两点,
MN//AB,
△CMN∽△CAB,以下未考虑方向,均为正,
S△CMN/S△CAB=（CM/CA）^2=1/2,
CM:CA=(√2/2):1,AM/MC=(2-√2)/√2=√2-1
根据定比分点公式x0=(x1+λx2)/(1+λ),y0=(y1+λy2)/(1+λ),
λ=√2-1,
x0=[1+(√2-1)*4]/(1+√2-1)
=4-3√2/2,
y0=[1+(√2-1)*5]/(1+√2-1)
=5-2√2,
AB直线斜率=(3-1)/(5-1)=1/2,
MN//AB,故斜率相等,
根据点斜式,
故所求直线方程为：(y-5+2√2)/(x-4+3√2/2)=1/2.