如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点. 求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC.
题目
如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.
求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC.
答案
证明:(1)由已知得∠ADC=90°,
从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心,
作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,
所以∠BPM=
∠BPD=∠BAD=60°,
从而∠PBM=30°;
(2)作SN⊥BP于点N,则
SN=SB.
又
DS=2SB,DM=MB=BD,
∴
MS=DS−DM=2SB−SB=SB=SN,
∴Rt△PMS≌Rt△PNS,
∴∠MPS=∠NPS=30°,
又PA=PB,所以
∠PAB=∠NPS=15°,
故∠DAC=45°=∠DCA,
所以AD=DC.
举一反三
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