直线l:y=mx+1与椭圆C:ax^2+y^2=2(a>0)交于A,B两点,以O为（原点）,OA,OB为邻边作

题目

直线l:y=mx+1与椭圆C:ax^2+y^2=2(a>0)交于A,B两点,以O为（原点）,OA,OB为邻边作
求证：椭圆C与直线L总有两个交点

答案

直线l:y=mx+1化为定点式y-1=mx
不难看出直线横过定点(0,1)
椭圆C方程可化为
ax^2/2+y^2/2=1
将定点坐标带入椭圆方程,即
a*0^2/2+1^2/2＜1
所以直线L上的一个定点(0,1)在椭圆内部
一直线的一点在一封闭图形内则直线与该图形至少有两个交点
又
y=mx+1 ①
ax^2+y^2=2 ②
两式可化为
ax^2+(mx+1)^2=2,这是一个关于x的一元二次方程,所以至多只有两个根
所以椭圆C与直线L总有两个交点
得证
（另注：可以直接证明方程ax^2+(mx+1)^2=2的判别式恒大于0,虽然计算量更大）
不懂再问,希望采纳