已知f(x)=3+log2(x),x∈[1,4],则g(x)=f(x²)-f[f(x)]²有（ ）

题目

已知f(x)=3+log2(x),x∈[1,4],则g(x)=f(x²)-f[f(x)]²有（ ）
A 最大值-2,最小值-18
B 最大值-6,最小值-18
C 最大值-6,最小值-11
D 最大值-2,最小值-11
求详解,要步骤.谢谢.

答案

选C
g（x）=f（x²）-[f（x）]2=3+log2 x²-（3+log2x）²=（log2x）²-4log2 x-6
令log2 x=t,结合x∈[1,4]且x²∈[1,4],得1≤x≤2
g（x）=F（t）=-t²-4t-6,其中0≤t≤1
∵F（t）=-t²-4t-6=-（t-2）²-10,在[0,1]上是减函数
∴t=0时,F（t）的最大值为-6；
t=1时,F（t）的最小值为-11
即g（x）的最大值为-6,最小值为-11