数学归纳证明

题目

数学归纳证明
证明：对大于2的一切正整数n,下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n) ≥ n^2+n-1
为什么
首先n=1容易验证成立
假设n=k成立 n=k+1时 有
（1＋2＋3＋…＋k）（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）+(k+1)*（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）+（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)
(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）*(k+1)>2k+2
（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)=k/2>0
（1＋2＋3＋…＋k）（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）>k^2+k-1
加一起..n=k+1成立
OK 这两步不会理解
(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）*(k+1)>2k+2
（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)=k/2>0

答案

咳咳,应该是首先n=3容易验证成立（不是n=1哦~）
假设n=k成立,即(1+2+3+…+k)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k) ≥ k^2+k-1,
因为 1+2+3+…+k=k(k+1)/2,所以,
1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k≥（k^2+k-1）/[k(k+1)/2]
n=k+1时 有
[1+2+3+…+k+(k+1)][1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k+1/(k+1)]
=（1＋2＋3＋…＋k)(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）
+(k+1)(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k)
+(1＋2＋3＋…＋k)[1/(k+1)]
+(k+1)[1/(k+1)]
≥k^2+k-1+(k+1) (k^2+k-1）/[k(k+1)/2]+k(k+1)/2*[1/(k+1)]+1
≥k^2+k-1+2(k+1)-2/k+k/2+1
≥(k+1)^2+(k+1)-1
因为k>2,-2/k+k/2≥0
这样可以理解吗?
静而后能思.共勉~