已知双曲线C的中心在原点且焦点在X轴上,过双曲线C的一个焦点且与双曲线有且只有一个交点的直线的方程为4x-3y+20=0.

题目

已知双曲线C的中心在原点且焦点在X轴上,过双曲线C的一个焦点且与双曲线有且只有一个交点的直线的方程为4x-3y+20=0.
(1)求双曲线C的方程.
(2)若过双曲线的左焦点F1任作直线L,与过右焦点F2的直线交于P点,且PF1垂直PF2,且△PF1F2的面积的最大值

答案

1,因为直线4x-3y+20=0过双曲线C的一个焦点,于是可以求得双曲线的焦点为（-5,0）所以有c=5,又直线4x-3y+20=0与双曲线有且只有一个交点,所以必有双曲线的其中一条渐近线方程为4x-3y=0于是有b/a=4/3,而a^2+b^2=c^2所以可以解得a=3,b=4,于是双曲线方程为x^2/9-y^2/16=1
2,因为PF1垂直PF2,所以有|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2=100,而三角形PF1F2的面积为S=[|PF1||PF2|sin90]/2=|PF1||PF2|/2<=(|PF1|^2+|PF2|^2)/4=25,
所以三角形的最大面积为25,取最大值时有|PF1|=|PF2|=5√2.