在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的
题目
在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,
设△EDQ的面积为y(cm
2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.
答案
(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5,
∵EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,
∴
=即
=,∴
EA=x,DE=5-
x…(3分)
(2)∵BC=5,CD=3,∴BD=2,
当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-1.25x,
则y=
×DQ×CP=(4−x)(2−1.25x)= x2−x+4…(6分)
即y与x的函数解析式为:
y=x2−x+4,其中自变量的取值范围是:0<x<1.6.
(3)分两种情况讨论:
①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-x,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
∴
=,DQ=1.25x-2
即
=…解得x=2.5…(9分)
②当∠QED=90°时,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴
=,
Rt△EDQ斜边上的高:4-x,
Rt△CDA斜边上的高为:
.
∴
=,
解得x=3.1.
综上所述,当x为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形.…(12分)
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