如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题： ①如果AB+DC=BC，则∠BEC=90°； ②如果∠BEC=90°，则AB+DC=BC； ③如果BE是∠ABC的平分线，则∠BEC

题目

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：
①如果AB+DC=BC，则∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，则AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分线，则∠BEC=90°，
④如果AB+DC=BC，则CE是∠DCB的平分线，
其中真命题的个数是（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案

过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC，E是AD的中点，
∴AB∥EF∥CD，EF=

1

2

（AB+CD）；
①∵AB+DC=BC，
∴EF=

1

2

BC，
∴∠BEC=90°；正确；
②∵∠BEC=90°，
∴EF=

1

2

BC，
∴AB+DC=BC；正确；
③∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE，
∴∠BEF=∠FBE，
∴EF=BF，
∴EF=

1

2

BC，
∴∠BEC=90°；正确；
④∵AB+DC=BC，
∴EF=CF=

1

2

BC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DCE=∠FCE，
即CE是∠DCB的平分线，正确．
故选D．