如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B,D是A1C1的中点,证明: (Ⅰ)A1B∥平面B1CD (Ⅱ)平面AB1C⊥平面A1BC1.
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如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B,D是A1C1的中点,证明: (Ⅰ)A1B∥平面B1CD (Ⅱ)平面AB1C⊥平面A1BC1.
题目
如图,棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧面BCC
1
B
1
是菱形,B
1
C⊥A
1
B,D是A
1
C
1
的中点,证明:
(Ⅰ)A
1
B∥平面B
1
CD
(Ⅱ)平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
.
答案
证明:(I)取AC的中点O,连接OA
1
,OB.
∵OC∥A
1
D,OC=A
1
D,∴四边形A
1
OCD为平行四边形,∴A
1
O∥CD,
又A
1
O⊄平面B
1
CD,CD⊂平面B
1
CD,∴A
1
O∥平面B
1
CD,
同理可证BO∥平面B
1
CD,
又A
1
O∩BO=O,∴平面B
1
CD∥平面A
1
BO,又∵A
1
B⊂平面A
1
BO,
∴A
1
B∥平面B
1
CD.
(II)证明:因为侧面BCC
1
B
1
是菱形,所以B
1
C⊥BC
1
又已知B
1
C⊥A
1
B,且A
1
B∩BC
1
=B,
又B
1
C⊥平面A
1
BC
1
,又B
1
C⊂平面AB
1
C,
所以平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
.
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