已知函数f(x)=1/ax^3+1/2x^2-(2+2a)x+b.若y=f(x)在[-2,0]上存在极值点,求a的取值范围.

题目

已知函数f(x)=1/ax^3+1/2x^2-(2+2a)x+b.若y=f(x)在[-2,0]上存在极值点,求a的取值范围.

答案

f'(x)=0在[-2,0]上有实数解原题等价于f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个实数解.
f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),
f'(x)=0在[-2,0]上至少有一个有实数解,问题转化为对二次函数根的个数的研究问题.
正向求解太复杂,至少有一个实数解的逆向即没有实数解,求出后求补集即可.
令g(x)=f'(x)=3/ax^2+x-(2+2a),x∈[-2,0],对称轴x'=-a/6.
当a＞0时,无实解即g(-2)＞0,x'=-a/6＜-2或g(0)＞0,x'=-a/6＞0,
解得a＜-1,补集即a≥-1,所以a＞0.
当a＜0时,无实解即g(-2)＜0,x'=-a/6＜-2或g(0)＜0,x'=-a/6＞0,
解得a∈(-1,0),补集即(-∞,-1].
综上,a的取值范围即(-∞,-1]∪(0,+∞).