试运用三角函数的定义,求sin15°,cos15°,tan15°的值.

题目

试运用三角函数的定义,求sin15°,cos15°,tan15°的值.

答案

(1) 先构造图形.
作直角三角形ABC, 角C=90° , 角CAB=30° , AB=2 .
延长CA 到D, 使得 AD=AB=2.
则 CB =AB * sin 角CAB =1 ,
CA =AB * cos 角CAB =根号3 .
CD =CA+AD =2+根号3 .
由勾股定理,
BD=根号(CB^2+CD^2)
=根号 (8+2根号12).
=根号 [ (根号2+根号6)^2 ]
=根号2 +根号6 .
(2)再求解sin15° ,cos15°和tan15°的值.
因为 角CDA=角DBA ,
且 角CDA+角DBA= 角CAB =30° ,
所以 角CDA =15°.
所以 sin 15° =sin 角CDA
=BC /BD
=1 / (根号2 +根号6)
=(根号6 -根号2) /4.
cos 15° =cos 角CDA
=CD /BD
=(2 +根号3) /(根号2 +根号6)
=(根号6 +根号2)/4.
tan 15° =tan 角CDA
=CD /BC
=(2 +根号3) /1
=2 +根号3.