已知：E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD一点，AE平分∠BAF． 求证：AF=BC+CF．

题目

已知：E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD一点，AE平分∠BAF．
求证：AF=BC+CF．

答案

证法1：作EM⊥AF于M．∵∠B=90°，
∴∠B=∠AME=90°，
∵∠1=∠2，AE是公共边，
∴BE=EM，∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC，EM=BE．①
连接EF，E是BC中点，∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF，∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．

证法2：过中点E作EM∥AB，交AF于M．则AM=MF，且∠1=∠2=∠3．
∴EM=AM=

1

2

AF
∵EM=

1

2

（AB+CF），
∴AF=AB+CF=BC+CF．