已知正四面体ABCD的棱长为a，点O是△BCD的中心，点M是CD中点． （1）求点A到面BCD的距离； （2）求AB与面BCD所成角的正弦值．

题目

已知正四面体ABCD的棱长为a，点O是△BCD的中心，点M是CD中点．

（1）求点A到面BCD的距离；
（2）求AB与面BCD所成角的正弦值．

答案

（1）∵棱长为a的正四面体中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等边三角形BCD中，CD边的上高BM=

3

2

a
过A作底面BCD上的高，则垂足O为底面BCD的重心
则BO=

2

3

BM=

3

3

a
则AO=

AB2-BO2

=

6

3

a，
∴点A到面BCD的距离OA=

6

3

a
（说明：直接由公式计算得出正确结果不扣分）…6分
（2）由（1）可得∠ABO即为AB与面BCD所成角
在Rt△OAB中，OA=

6

3

a，AB=a
∴sin∠ABO=

OA

AB

=

6

3

即AB与面BCD所成角的正弦值为

6

3

（1）根据棱长为a的正四面体高为

6

3

a，可求出点A到面BCD的距离，即正四面体的高；
（2）由（1）中AO的长，及AB的长，解直角三角形OAB可得AB与面BCD所成角的正弦值．

本题考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．

考点点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥高的公式，解答（1）的关键是熟练掌握与正四面体相关的公式，（2）的关键是构造出线面夹角的平面角