高等代数 设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一

题目

高等代数 设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一
高等代数
设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列.

答案

可以构造一个以a为第一列的Householder矩阵
设a=（a1,…,an）^T
令b=（b1,…,bn）^T
其中令1-2b1^2=a1,则b1=√（（1-a1）/2）,令-2bib1=ai,则bi=-ai/（2b1）=-ai/（2√（1-a1）/2））（i=2,…,n）
则b^Tb=（1-a1）/2+a2^2/（2（1-a1））=（1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2）/（2（1-a1））=（1-2a1+1）/（2-2a1）=1
所以b为单位列向量
令A=E-2bb^T,则A的第一列为a
且A^T=（E-2bb^T）^T=E-2bb^T=A从而A为对称矩阵
AA^T=（E-2bb^T）（E-2bb^T）=E-4bb^T+4bb^Tbb^T=E-4bb^T+4b（b^Tb）b^T=E,从而A为正交矩阵