已知P-ABC是球O的内接四面体,PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=1.试求球半径R

题目

已知P-ABC是球O的内接四面体,PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=1.试求球半径R
我才刚刚开始学空间几何,

答案

三棱锥P-ABC内接于球O,PA、PB、PC两两垂直
则三侧面为等腰直角三角形,而底面为边长为√2的正三角形,从P作PH⊥平面ABC,侧棱的射影为AH,AB=√2,
AH=√3/2*（√2）*2/3=√6/3,PH=√[1^2-(√6/3)^2]=√3/3,
在平面PHA上作PA有垂直平分线,交PH于O,O就是外接球球心,则PO=AO=R,R为球的半径,OH为球心至底面ABC的距离,设OH=x,x^2+(√6/3)^2=(√3/3+x)^2,(AH>PH,球心在棱锥之外,故是加x,非减x）,
∴x=√3/6.
球心O到面ABC的距离为√3a/6.
则R=OP=OH+PH=√3/3+√3/6=√3/2