BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证：

题目

BD、CE是三角形ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,求证：
（1） AP=AQ
（2） AP丄AQ

答案

证明：
1、在△AEC和△ADB中,∠BAC是公共角,△AEC和△ADB中有一个角是直角（已知）,所以
△AEC∽△ADB,所以∠ABD=∠ACE
在△ABP和△QCA中,∠ABD=∠ACE（已证）,BP=AC（已知）CQ=AB（已知）
所以△ABP≌△QCA,所以AP=AQ（对应边相等）
2、△ABP≌△QCA,所以∠QAC=∠APB,
在△ADP中∠ADP=90度,∠PAC=90-∠BPA,∠QAC=∠BPA（已证）
∠QAP=∠QAC+∠PAC=∠QAC+90-∠BPA=90,所以AP垂直AQ