已知n∈N﹢,抛物线y=(n^2+n)-(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点,以AnBn的绝对值表示该两点间的距离,则A1B1的绝对值+A2B2的绝对值+···+A2010B2010的绝对值=?

题目

已知n∈N﹢,抛物线y=(n^2+n)-(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点,以AnBn的绝对值表示该两点间的距离,则A1B1的绝对值+A2B2的绝对值+···+A2010B2010的绝对值=?

答案

交点横坐标为x1,x2x1+x2=(2n+1)/(n^2+n)x1x2=1/(n^2+n)AnBn^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2n+1)^2/(n^2+n)^2-4/(n^2+n)=1/(n^2+n)^2所以有AnBn=1/(n^2+n)=1/n-1/(n+1)|A1B1|+..|A2010B2010|=1/1-1/2011=2010/2011...