高数关于泰勒公式的证明题

题目

高数关于泰勒公式的证明题
设f(x)在[-2,2]上有一阶连续导数,在(-2,2)内二阶可导,且|f(x)|≦1,f'(0)>1,证明 存在ξ∈(-2,2),使得f''(ξ)=0

答案

将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=0（即拉格朗日中值公式）
f(x)=f(x₀)+f’(ξ)*(x- x₀)
取x₀=0,分别以x= 2与x= -2代入,得
f’(ξ₁)= [f(2)-f(0)]/2 (0< ξ₁