如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F． （1）求证：CE=CF； （2）若sinB=3/5，求DF：CF的值．

题目

如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，CA是⊙O的切线，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．

（1）求证：CE=CF；
（2）若sinB=

3

5

答案

（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°．
∵CA是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEC+∠EAC=90°，
又∵∠DAF=∠EAC，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠EFC=∠AFD，
∴∠EFC=∠AEC，
∴CE=CF；
（2）作FG⊥AC于点G．
∵直角△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
又∵∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴FG=DF，
又∵在直角△CFG中，sin∠ACD=sinB=

FG

FC

=

3

5

，
∴DF：CF=FG：FC=3：5．